CALIFICACIÓN N GENERALIZADA Y CONVERGENCIA ÓPTIMA PARA MÉTODOS DE REGULARIZACIÓN ESPECTRALES

Abstract

El concepto de calificación de métodos de regularización espectrales (MREs) para problemas
inversos mal condicionados está fuertemente asociado con el orden de convergencia óptimo del
error de regularizaci´on (H. W. Engl et al., Regularization of inverse problems, volume 375
of Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht (1996);
P. Math´e and S. V. Pereverzev, Inverse Problems, 19(3):789-803 (2003)). En este trabajo se
extiende la definición de calificación y se introducen tres niveles diferentes de este concepto:
débil, fuerte y óptimo. Se muestra que la calificación débil extiende la definición introducida
por Mathé y Pereverzev en el a˜no 2003, principalmente en el sentido que las funciones asociadas
a órdenes de convergencia y conjuntos fuente no necesariamente son las mismas. Se proveen
además una condición suficiente que garantiza que un MRE posee calificación en el sentido de
esta generalización como asíı también condiciones necesarias y suficientes para que un orden de
convergencia dado sea calificación fuerte u óptima. Se muestra que algunos MREs que tienen
calificación clásica infinita, por ejemplo expansión en valores singulares truncada, método de
Landweber y método de Showalter, poseen además calificación generalizada, la cual conlleva
a un orden de convergencia óptimo del error de regularización. Se presentan varios ejemplos
que ilustran los niveles de calificación, las relaciones entre los mismos, como asíı también con
el concepto de calificación clásica y el introducido por Math´e y Pereverzev. Por último, se
muestran las implicaciones que tiene esta teoría en el contexto de órdenes de convergencia,
resultados recíprocos y conjuntos fuente maximales para problemas inversos mal condicionados
concretos.