Estudio del Espectro Multifractal de una Señal no Estacionaria con Multifractal Detrended Fluctuation Analysis (MFDFA)

Abstract

Uno de los elementos que caracteriza la regularidad puntual de una función localmente acotada es el exponente Hölder de cada punto, 0 + , el cual capta la irregularidad - rugosidad- del gráfico de la función en los puntos donde aparecen singularidades, siendo más irregular cuanto menor sea el valor del exponente. Asimismo describe la regularidad -suavidad- en puntos no singulares, siendo más regular cuanto mayor sea el valor del exponente. Los fenómenos naturales suelen tener comportamientos complejos y presentar características multifractales, es decir, las funciones que los modelizan están caracterizadas por diferentes exponentes Hölder, que además pueden fluctuar punto a punto. También casi todo punto suele ser singular, por lo que el análisis multifractal global permite conocer la estructura de estas singularidades. Éste análisis describe la distribución de los diferentes exponentes Hölder de una función mediante el cálculo del espectro multifractal, que asocia a cada la dimensión de Hausdorff del conjunto de puntos donde la función tiene regularidad puntual de exponente Hölder . Diferentes métodos basados en el Análisis Wavelet han sido propuestos para el cálculo del espectro multifractal, siendo los más relevantes el Wavelet Transform Modulo Maxima (WTMM) y el de Wavelet Leader (WL). Otro de los métodos propuestos, no basado en wavelets, es el MFDFA, que construye funciones de fluctuación, a partir de los datos numéricos globales de la señal. El trabajo consiste en la descripción del método MFDFA, la aplicación a una señal de un electroencefalograma (EEG) realizado durante el sueño humano y su caracterización de los diferentes estadíos del sueño humano mediante el cálculo del espectro multifractal en cada fase del sueño. A partir de los resultados obtenidos con este método, se proponen tres diferentes cuantificadores correspondientes a los exponentes Hölder y al espectro multifractal que muestran la correlación en la evolución temporal de dichos cuantificadores con el correspondiente hipnograma.