Desarrollo de un Elemento Finito Jerárquico para Placas Utilizando Polinomios de Gram-Schmidt

Abstract

En este trabajo se presenta el desarrollo de un elemento finito jerárquico para placas. El mismo se basa en la utilización de funciones de forma clásicas, enriquecidas con la incorporación de polinomios ortogonales de Gram-Schmidt. La idea que se utilizó en la formulación que aquí se presenta, es la usada en el Método de los Elementos Finitos, en la denominada versión h-p. La precisión de la solución se mejora incrementando el grado de las funciones polinómicas de aproximación. Así, los primeros cuatro modos de desplazamientos cúbicos usados en la versión h se mantienen, mientras que los modos de orden más alto se derivan de los polinomios de Gram-Schmidt. El campo de desplazamientos se define con los polinomios de Hermite y con polinomios ortogonales para obtener un macro elemento finito jerárquico MEF hp. Estos polinomios ortogonales se generan con fórmulas de recurrencia que garantizan que todas las aproximaciones de orden mayor que cinco tengan desplazamiento y pendiente nulos en cada extremo del elemento. Esta característica es particularmente importante ya que estos modos sólo contribuyen al campo de desplazamiento interior del elemento y, por consiguiente, no afectan al desplazamiento a lo largo de los bordes del mismo. Sin embargo, cuando cualquiera de estos modos se usa junto con los de Hermite, éstos se sumarán a los grados de libertad a lo largo del borde del elemento. Por lo tanto se pueden simular condiciones de borde clásicas. La metodología desarrollada se aplica al estudio de la vibración libre de placas isótropas, elásticas y distintas formas geométricas, para lo cual se combina la aproximación del campo de desplazamientos descripta con la técnica de mapeo de espacios. De esta forma se obtuvo una formulación general que se implementó en un programa de computadora para determinar las frecuencias naturales y las formas modales asociadas. Se realizaron estudios de convergencia que permiten concluir que la formulación del macro elemento finito obtenido produce soluciones estables y convergentes.