Uso de Wavelets en el Refinamiento de Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales

Abstract

En los últimos años se ha extendido el desarrollo de métodos basados en wavelets para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Estos métodos se basan, en general, en la estructura autosimilar de un análisis multirresolución, utilizando la descomposición del espacio funcional en subespacios asociados a escalas espaciales sucesivas.
En ese sentido, una amplia variedad de propuestas realizadas se basan en el método Wavelet-Galerkin para la solución de problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDPs) y evidencian, en general, buenas propiedades de convergencia. Por otro lado, otros autores han desarrollado métodos que utilizan funciones de escala y wavelets en esquemas de colocación para la solución de problemas de valores de contorno de EDPs.
En base al método de Galerkin, los autores del presente artículo han desarrollado un esquema híbrido que combina ecuaciones variacionales y de colocación. Un adecuado tratamiento de las condiciones de borde, conduce a aproximaciones con buenas propiedades de convergencia. Al mantener la estructura de multirresolución esta estrategia permite definir una aproximación jerárquica a la solución, refinada por escalas. El método fue implementado en primer lugar empleando B-splines y los resultados numéricos obtenidos en distintas aplicaciones fueron presentados en los trabajos mencionados.
La idea del presente trabajo es extender el método híbrido (V.Vampa et al., Appl. Math. Comput. (2010).doi:10.1016/j.amc.2010.08.068) definiendo un esquema que, al aprovechar plenamente las ventajas del análisis multirresolución, permita pasar de la aproximación en una escala a la siguiente más fina con el menor esfuerzo computacional. En base a wavelets sobre intervalos, se presenta una técnica para resolver problemas de borde de segundo orden, que permite mejorar las aproximaciones con una significativa disminución del costo computacional. Se exponen resultados numéricos obtenidos en distintas aplicaciones y se realizan comparaciones con resultados obtenidos con métodos de colocación.