Métodos Iterativos y Bayesianos para Regularización de Problemas Inversos por Variación Total

Abstract

Los métodos de regularización de tipo variación acotada (BV) fueron introducidos originalmente por L. Rudin, S. Osher y E. Fatemi en 1992 (L. I. Rudin et al., Proceedings of the 11th Annual International Conference of the Center for Nonlinear Studies, Physica D, 60:259-268 (1992)) y estudiados luego por R. Acar y C. R. Vogel en 1994 (R. Acar and C. R. Vogel, Inverse Problems, 10:1217-1229 (1994)). Estos métodos pueden verse como métodos de Tikhonov-Phillips generalizados en los que se utiliza como penalizantes la norma o la seminorma de variación acotada o bien una perturbación diferenciable de la seminorma. En los últimos 15 años, los métodos BV han sido empleados exitosamente en una gran variedad
de aplicaciones, especialmente en procesamiento y restauración de imágenes y en Medicina, en problemas en los cuales es deseable preservar bordes y discontinuidades. No obstante es bien conocido que los métodos de Tikhonov-Phillips regulares pueden formularse como problemas de optimización sin restricciones, para el caso particular de penalizantes de tipo BV surgen dos tipos de inconvenientes: el primero de carácter analítico está relacionado con la existencia y unicidad de minimizantes y el segundo de índole numérico-computacional puesto que tales funcionales no son derivables.
Este trabajo tiene dos objetivos fundamentales. En primer lugar presentar brevemente algunos resultados sobre existencia, unicidad y estabilidad de los minimizantes globales de funcionales Tikhonov-Phillips generalizados con penalizantes de tipo BV. En segundo lugar veremos como el penalizante asociado a la seminorma BV se puede escribir como un penalizante cuadrático asociado a un funcional no-lineal. Este enfoque permite escribir la correspondiente ecuación normal como una ecuación no-lineal, la que a su vez induce un método iterativo para aproximar la correspondiente solución. Esta solución, a su vez puede verse como el estado estacionario de una ecuación de difusión no lineal. Ciertas variantes de este enfoque dan lugar a
los métodos de regularización de Perona-Malik (P. Perona and J. Malik, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12:629-639, (1990)). Finalmente se mostrarán varios resultados de estos métodos iterativos en problemas de restauración de señales e imágenes.