Errores ’A Posteriori’ Y Mejoramiento De La Valuación De Opciones Financieras Dependientes Del Camino.

Abstract

Con el objetivo de obtener estimaciones de errores ’a posteriori’ y mejorar la aproximación
de las soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de Black-Scholes-Merton (BSM, ecuaciones del tipo de difusión), se estudian métodos de extrapolación y de mallas mixtas
para el problema de valuación de opciones Asiáticas de compra y venta de activos financieros. Estos
derivados, que se negocian entre partes fuera de mercados estándar, resultan ser de una gran variedad
de tipos que se definen en detalle en el artículo y su valor está asociado con el cálculo de promedios
de los precios del activo subyacente durante la vida de la opción, lo que las hace pertenecer a la clase
de opciones dependientes del camino, de lo que resulta, en principio, el crecimiento de la complejidad
computacional en las aproximaciones numéricas. En el caso usual de realizar promedios aritméticos solo
existen en la literatura expresiones aproximadas para valuarlos, raz´on por la cual las estimaciones
numéricas utilizando el denominado modelo trinomial (equivalente al método de diferencias finitas explícitas aplicado a la ecuación de BSM correspondiente) son una alternativa razonable siempre que (1)
se puedan estimar los errores de aproximación, (2) se puedan mejorar las soluciones aproximadas para
lograr una valuación ajustada, y (3) se puedan diseñar algoritmos de construcción de esta solución aproximada
con una complejidad computacional manejable. Los tres puntos mencionados se tratan y resuelven
en detalle en el presente trabajo y se desarrollan métodos que se extienden, con las modificaciones necesarias,
a otros tipos de opciones dependientes del camino. Se efectúan asimismo comparaciones con las
soluciones aproximadas al problema de las que se explica su derivación y que se obtienen de la literatura.
Para la obtención de resultados respecto de los puntos (1) y (2) se utilizan mallas trinomiales y
refinamientos de las mismas con conjuntos coincidentes de nodos en los cuales se realizan promedios
con los pesos adaptados al orden numérico del algoritmo base. El ajuste de estas mallas mixtas de manera
de respetar las propiedades de evolución del valor del activo y su volatilidad es uno de los aspectos
delicados del método lo que es tratado en el trabajo con el fin de optimizar el algoritmo propuesto. En
lo que respecta al punto (3) se utiliza un sistema de interpolación y cálculo de promedios que reduce
considerablemente varias de las fuentes de complejidad. Asimismo se puede establecer una estrategia de
recorrido de los nodos que conduce a reducir el restante factor generador de complejidad numérica.