La Ecuación Generalizada De Riccati En Derivadas Parciales. Aplicación Al Control De Reacciones Electroquímicas.

Abstract

Se proponen y comparan soluciones al problema de mantener un sistema no lineal en equilibrio
mediante una acción de control que optimiza un costo cuadrático durante un período de tiempo
especificado. Se aplican los resultados al control de las llamadas “reacciones electroquímicas del hidrógeno”(HER). Se resuelve el problema bilineal-cuadrático con horizonte finito apelando a diversos
métodos que conducen a la formulación de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) y
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones se aproximan numéricamente. Una solución aproximada de la EDP de Hamilton-Jacobi-Bellmann (HJB) asociada a este problema se obtiene
mediante la expansión en serie de potencias de la función de valor. Se desarrolla un nuevo método para
reducir considerablemente el almacenamiento de información y facilitar su complejo procesamiento en
tiempo real. Este método se basa en la integración de una EDP de primer orden (RPDE) para la matriz
generalizada de Riccati, que depende no solo del tiempo como en el problema clásico lineal-cuadrático,
sino también del estado en que se encuentra el sistema. Este último método tiene algunas ventajas
respecto del anterior, por ejemplo: (a) la RPDE provee la condición inicial para el coestado del sistema,
o sea que transforma el problema de resolver las ecuaciones Hamiltonianas (HE), originalmente con
condiciones de contorno, en otro de condiciones iniciales, lo que permite la integración de las HE en
l´ınea con el proceso; (b) el grado de aproximación al control óptimo depende del método utilizado para
integrar la RPDE, y no de la cantidad de coeficientes guardados en la serie de potencia, en principio
de infinitos términos, necesarios para la solución de la HJB; (c) permite utilizar toda la solución de la
RPDE para tratar perturbaciones de distinta norma y duración, en reemplazo de la integración de las
HE, reconocidamente inestables dada su estructura simpléctica. En el trabajo se comparan las siguientes
tres alternativas para la regulación: (i) series de potencias para HJB; (ii) RPDE fuera de línea y HE en
línea; (iii) RPDE fuera de línea y optimización en línea. Para alguno de los métodos se han desarrollado
algoritmos numéricos especializados, que se comparan con la utilización de software matemático de uso
corriente. También se ilustra el comportamiento de las soluciones frente a variaciones en los parámetros
de diseño del costo cuadrático, especialmente de la penalización final.