Identificación de Cavidades Mediante Optimización Topológica en la Tomografía de Impedancia Eléctrica con un Funcional Kohn-Vogelius

Abstract

La Tomografía de la Impedancia Eléctrica (TIE) posibilita inferir la estructura interna de un cuerpo, si se conocen simultáneamente mediciones de corriente y potencial eléctrico en su contorno exterior. Si se asocian diferentes valores en la función de conductividad eléctrica a diferentes materiales, es posible detectar la presencia de inclusiones o defectos en el medio detectando estos cambios. Este problema inverso es no lineal y mal condicionado en el sentido de Hadamard, lo cual demanda metodologías de reconstrucción robustas. Entre estos métodos se destacan aquellos que emplean la información proveniente de la derivada topológica del funcional de costo que define el problema. Esta derivada es una función escalar que cuantifica la sensitividad del funcional de costo, cuando se introducen perturbaciones infinitesimales en el dominio original del problema (Novotny y Sokolowski, 2013). Se ha comprobado numéricamente que si se emplea un funcional definido sobre el contorno del cuerpo, la derivada topológica de primer orden presenta limitaciones para encontrar soluciones en zonas alejadas de su periferia (Santucho et al., 2014). En este trabajo se propone el uso de un funcional de costo definido sobre todo el dominio del cuerpo, es decir del tipo Kohn-Vogelius, a fin de superar dicha limitación en la reconstrucción. El problema así definido, se formula como un problema de optimización topológica, determinando la expresión analítica de su derivada con el método llamado compound asymptotic expansions. Finalmente, se realizan experimentos numéricos a fin de comprobar la bondad del método para detectar la ubicación y geometría de las cavidades incógnitas.