Curso de Posgrado: Métodos Iterativos para la Solución de Grandes Sistemas de Ecuaciones Lineales y No Lineales

Novedades

• [2011-04-01 08:00:56] El curso comienza el jueves 7/4 0830hs

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Curso de Posgrado para las Carreras:

• Doctorado en Ingeniería, Mención Mecánica Computacional
• Doctorado en Ingeniería, Mención Recursos Hídricos
• Doctorado en Ingeniería Química
• Doctorado en Matemática

Docentes del curso:

• Responsable del curso Dr. Rodrigo R. PAZ: rodrigo.r.paz (at) gmail (dot) com
• Dr. Mario A. STORTI: mstorti (at) intec (dot) unl (dot) edu (dot) ar
• Dr. Lisandro Dalcin: dalcinl (at) gmail (dot) com

Objetivos del curso

El objetivo de este curso es brindar al estudiante de posgrado una base matemática e informática en lo que respecta a la solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales y no lineales que provienen, generalmente, de la discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se presentarán las bases matemáticas necesarias para el estudio de convergencia, estabilidad y precisión de métodos iterativos que son de uso extensivo por la comunidad científica para la solución de grandes sistemas de ecuaciones; como así también, se darán detalles de la implementación de estos algoritmos en plataformas de cálculo secuenciales y paralelas con el posterior análisis de su desempeño. Se abordarán temas de constante estudio y desarrollo como lo es el método de Descomposición de Dominios y su precondicionamiento. La idea del curso es también la de usar y evaluar la performance de los métodos iterativos dentro del contexto de la Mecánica Computacional.

Conocimientos previos requeridos

• Nociones básicas de Matemática y Álgebra Lineal.
• Conocimiento de lenguajes de programación como C/C++ y/o Matlab/Octave.

Modalidad del dictado

clases semanales teóricas y prácticas de 2 horas.

• Teoría: 60 horas
• Coloquio y/o práctica, en el aula o en el laboratorio: 15 horas
• Total : 75 horas
• Duración (en semanas): 15 semanas.

Fecha de inicio del dictado 2011

• Fecha inicio: Jueves 07/04/2011
• Aula: aula 18 (a confirmar)
• Predio CONICET Santa Fe, Edificio Intec I (mapa e intrucciones para llegar)

Formas de evaluación

• Número de exámenes: 3
• Tipo, duración del examen y aprobación del curso: Cada examen consistirá en la resolución de un problema usando los métodos numéricos estudiados en los correspondientes capítulos.
• Tiempo previsto: A determinar.

Programa sintético:

• [1] Conceptos Básicos y Métodos Iterativos Estacionarios.
  • [1.1] Revisión y notación.
  • [1.2] El lema Banach e inversas aproximadas.
  • [1.3] El radio espectral.
  • [1.4] Métodos iterativos estacionarios clásicos.
  • [1.5] Ejercicios.

• [2] Método Iterativo de los Gradientes Conjugados (CG).
  • [2.1] Métodos de Krylov y la propiedad de minimización.
  • [2.2] Consecuencias de la propiedad de minimización.
  • [2.3] Criterios de terminación de la iteración.
  • [2.4] Implementación.
  • [2.5] Precondicionamiento.
  • [2.6] Métodos CGNR y CGNE.
  • [2.7] Ejemplos del método de CG con precondicionamiento.
  • [2.8] Ejercicios.

• [3] Iteración de GMRES.
  • [3.1] La propiedad de minimización y sus consecuencias.
  • [3.2] Criterios de terminación de la iteración.
  • [3.3] Precondicionamiento.
  • [3.4] Implementación de GMRES: ideas básicas.
  • [3.5] Implementacion en una base ortogonal.
  • [3.6] Colapso de GMRES (Breakdown).
  • [3.7] El algoritmo de Gram-Schmidt modificado.
  • [3.8] Una Implementación eficiente.
  • [3.9] Estrategias de reortogonalización.
  • [3.10] Restart.
  • [3.11] Ejemplos para el método de GMRES.
  • [3.12] Ejercicios.

• [4] Conceptos Básicos en Iteración de Punto Fijo.
  • [4.1] Tipos de convergencia.
  • [4.2] Iteración de punto fijo.
  • [4.3] Hipótesis estandares.

• [5] Método de Newton.
  • [5.1] Convergencia local del método de Newton.
  • [5.2] Criterios de terminación de la iteración.
  • [5.3] Implementación del método de Newton.
  • [5.4] Errores en la función y en su derivada.
    • [5.4.1] El método de la cuerda.
    • [5.4.2] Inversión aproximada de F.
    • [5.4.3] El método de Shamanskii.
    • [5.4.4] Aproximación de F por diferencias.
    • [5.4.5] El método de la secante.
  • [5.5] Ejemplos del método de Newton.
  • [5.6] Ejercicios.

• [6] El Método de Descomposición de dominios.
  • [6.1] Condicionamiento del problema de interfase. Analisis de Fourier.
    • [6.1.1] Problema de Poisson.
    • [6.1.2] Problema de Advección-Difusión.

• [7] Resolución en Plataformas Paralelas de Problemas Lineales y No Lineales usando PETSc.
  • [7.1] Introducción a la Librería PETSc.
  • [7.2] Resolución de la Ecuación de Laplace.
  • [7.3] Resolución de la Ecuación de Advección-Difusión.
  • [7.4] Resolución de Problemas No Lineales.

Bibliografía:

• M.A. Storti, R.R. Paz. Métodos Iterativos para la Solución de Problemas Lineales y No-Lineales. Universidad Nacional del Litoral - CONICET. 2002.

• C.T. Kelley. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. Frontiers in Applied Mathematics, vol. 16. SIAM: Philadelphia, PA, 1995

• H. Van der Borst. Iterative Methods for Large Linear Systems. Mathematical Institute, Utrech University. The Netherlands, 2000.

• G. Golub, Ch.F. Van Loan. Matrix Computations, John Hopkins Univ. Press, 1991.

• M. Papadrakakis (ed.). Parallel Solution Methods in Computational Mechanics, John Wiley and Sons, Chichester, 1997.

Cupo de alumnos

no hay cupo

Material

• Apuntes Métodos Iterativos (Mario Storti, Rodrigo Paz)