Universidad Nacional del Litoral
Centro de Investigación de Métodos Computacionales

Introducción al Método de los Elementos Finitos

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Novedades

• Inicio de clases previsto el Lunes 19 de agosto a las 17:00 hs.
• A first course in continuum mechanics, Fung, Capitulo 2
• Numerical Solutions of PDEs by the Finite Element Method - Claes Johnson - Cambridge University Press (1995)

Indice

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Introducción al Método de los Elementos Finitos

• Carrera: Doctorado en Ingeniería
• Extension: Cuatrimestral
• Carga horaria: 90 hs de clases (45 hs teoría / 45 hs práctica)

• Docentes:
  • Alberto Cardona (acardona at unl dot edu dot ar) Tel: 4511594/95 int 7035 / 7003
  • Sebastian Toro (storo at intec dot unl dot edu dot ar) Tel: 4511594/95 int 7047

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Objetivos

Definición

Esta definición está tomada de Wikipedia.

El análisis por elementos finitos es una técnica de simulación en computadora usada en análisis en ingeniería. Utiliza una técnica numérica llamada Método de los Elementos Finitos (MEF).

Fue primeramente desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizó el método de Ritz del análisis numérico y la minimización del cálculo variacional para obtener soluciones aproximadas a sistemas vibrantes. Poco tiempo después, un artículo publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableció una definición más amplia del análisis numérico. El artículo se focalizaba en la "rigidez y la deflexión de estructuras complejas". El desarrollo del método de elementos finitos en mecánica estructural es usualmente basado en principios energéticos como el principio de los trabajos virtuales o el principio de la energía potencial total mínima.

En su aplicación, el objeto o sistema es representado mediante un modelo geométricamente similar consistente de representaciones simplificadas y enlazadas entre sí de regiones discretas -i.e., elementos finitos. En cada elemento se aplican las ecuaciones de equilibrio, en conjunto con consideraciones físicas tales como las relaciones de compatibilidad y constitutivas, y se construye así un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas. El sistema de ecuaciones se resuelve mediente técnicas de álgebra lineal o esquemas numéricos no lineales, según corresponda, entregando el valor de las incógnitas. Siendo el método un método aproximado, la precisión del MEF puede mejorarse mediante refinamiento de la malla en el modelo utilizando más elementos y nodos.

Una aplicación común del MEF es para la determinación de tensiones y desplazamientos en objetos mecánicos y sistemas. Sin embargo, es también rutinariamente utilizado en el análisis de muchos otros tipos de problemas, incluyendo aquéllos en transmisión de calor, dinámica de fluidos, y electromagnetismo. El MEF es capaz de manejar sistemas complejos para los cuales no puede encontrarse soluciones analíticas cerradas.

Visualización del análisis de una colisión oblicua hecha en NTNU usando el método de los elementos finitos. Los resultados están visualizados usando GLView.

Ver más información en Wikipedia.

Que debe saber el alumno al concluir el curso

Debe conocer las bases matemáticas del método de los elementos finitos para problemas de campos escalares (térmicos, difusión, flujo potencial) y vectoriales (ecuaciones de elasticidad, de flexión de placas, de mecánica de fluidos), así como comprender los aspectos prácticos de programación involucrados en el mismo.

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Programa Analítico

1. Introducción al MEF para problemas elípticos. Formulación variacional para un problema modelo unidimensional. MEF para problema modelo con funciones lineales por tramos. Estimación de error para MEF para el problema modelo. MEF para la ecuación de Poisson. Espacios de Hilbert. Interpretación geométrica del MEF. Problema de Neumann. Condiciones de borde naturales y esenciales.
2. Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos. Problema continuo. Discretización. Estimación de error. Norma energía. Ejemplos.
3. Algunos espacios de elementos finitos. Requerimientos de regularidad. Ejemplos de elementos finitos.
4. Teoría de aproximación para el MEF. Estimaciones de error para problemas elípticos. Interpolación con funciones lineales por tramos en dos dimensiones. Interpolación con polinomios de grado superior. Estimaciones de error para el MEF en problemas elípticos. Regularidad de la solución exacta. Métodos adaptativos. Una estimación de error en norma L2.
5. Aplicaciones para problemas elípticos. Problema de elasticidad. Problema de Stokes. Problema de flexión de placas.
6. Elementos finitos curvos e integración numérica.
7. MEF para problemas parabólicos. Problema modelo unidimensional. Semidiscretización en el espacio. Discretización en espacio y tiempo. Métodos de diferencias hacia atrás de Euler y Crank-Nicolson. Método de Galerkin discontinuo. Estimaciones de error, control automático del paso de tiempo y del paso espacial.
8. Problemas hiperbólicos. Problema de convección-difusión. Métodos numéricos para problemas hiperbólicos. Método de Galerkin estándar. Difusión artificial clásica. Método de difusión por líneas de corriente. Método de Galerkin discontinuo. Sistemas de Friedrichs.
9. Elementos mixtos.

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Bibliografía

• Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. C. Johnson, Cambridge University Press (1995).
• The finite element method, 5th ed, O.C.Zienkiewicz y R.L. Taylor, Butterworth-Heynemann (2000).
• The finite element method, T.J.R. Hughes, Prentice-Hall Int. Editions (1987).
• Numerical methods in finite element analysis, K.J. Bathe y E.L. Wilson, Prentice-Hall (1976).

• Introduction to Finite Element Methods, Carlos Felippa,Department of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado at Boulder (2011).

Página para descarga y bibliografía sobre uso de Octave

• Octave

Bibliografía sobre uso de Matlab

• MATLAB Primer, Third Edition Kermit Sigmon, Department of Mathematics, University of Florida (1993).
• Aprenda Matlab 7.0 como si estuviera en primero. Javier García de Jalón, José Ignacio Rodríguez, Jesús Vidal, Escuela Técnica Superior
  de Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid (2005).

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Modalidad de Dictado

Se dictarán clases:

• Teóricas (3 hs semanales)
• Prácticas (3 hs semanales)
• De consulta (2 hs semanales)

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Horarios

• Lunes de 17:00 hs a 20:00 hs (Zoom)
• Jueves de 17:00 hs a 20:00 hs (Zoom)
• Consultas: acordar un horario por teléfono o e-mail con el docente a consultar. Las consultas serán en el CIMEC (mapa para llegar https://cimec.org.ar/foswiki/Main/Cimec/CimecLocation )

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Evaluación

La evaluación se realiza mediante un examen parcial y un examen final. Se calcula una Nota Final por promedio ponderado de las notas de ambos exámenes.

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Cronograma Tentativo

• Inicio de Clases : Semana 1
• Examen Parcial : Semana 8
• Examen Final : Semana 16

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Diapositivas del Curso

1. Introducción
2. Introducción al MEF para problemas elípticos
   • Ejemplo elementos lineales 1D
   • Ejemplo elementos lineales 2D
   • Programa MatFEM
   • Fuente del Programa MatFEM
3. Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos
4. Algunos espacios de elementos finitos
5. Estimación de error en problemas elípticos
6. Algunas aplicaciones del MEF en problemas elípticos
7. Elementos curvos e infinitos. Integración numérica
8. MEF para problemas parabólicos
   • Ejemplo problemas parabolicos 1D
9. MEF para problemas hiperbólicos
   • Ejemplo problemas hiperbolicos 1D
10. Elementos Mixtos

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Notas en Clase

1. Clase 2/09/11
2. Clase 6/09/11
3. Practica 09/09/11
4. MEF_TP1 Practica 09/09/11
5. Clase 13/09/11.
6. Clase 16/09/11.
7. MEF_TP2 Practica 20/09/11
8. Practica 23/09/11.
9. Clase 30/09/11.
10. Clase 04/10/11.
11. Practica 18/10/11.
12. Clase 21/10/11.
13. Clase 25/10/11.
14. Clase 08/11/11.

Guías de Trabajos Prácticos

Las guías de práctica se distribuirán por este medio.

• Guía 1
  • Solución analítica problema 1D con discontinuidad de gradiente en el limite eps-> 0 (usar esta solucion en ejercicio 3)
  • Ejemplo: script que hace uso del toolkit de cálculo simbólico de Matlab
• Guía 2
  • Fuente del Programa MatFEM
• Guía 3
• Guía 4
  • Solución analítica problema 1D con discontinuidad de salto en el limite eps-> 0
  • Fuentes del programa stiffcurElast2D.m
  • Dibuja una malla de elementos finitos triangulares y número de elementos
• Guía 5
  • Paquete para graficar mallas con numeracion de nodos y elementos, para elementos triangulares lineales, cuadrangulares lineales y triangulares cuadraticos.
• Guía 6
• Guía 7
  • Elemento finito para problema de Stokes en formulacion velocidad C1
  • Herramientas para ploteo de resultados de velocidad y presion
  • [ Teoria elemento finito mixto Q1P0 para problema de Stokes]

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Algunos enlaces de interés

Revistas científicas en temas relacionados (los contenidos son accesibles desde computadoras de la Universidad Nacional del Litoral)

• Advances in Engineering Software
• Coastal Engineering
• Computer Aided Design
• Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
• Computers and Geosciences
• Computers and Structures
• Engineering Structures
• Finite Elements in Analysis and Design
• International Journal of Heat and Fluid Flow
• International Journal of Mechanical Sciences
• Journal of Computational Physics
• Journal of Fluids and Structures
• Journal of Sound and Vibration
• Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering
• Nuclear Engineering and Design
• Soil Dynamics and Earthquake Engineering

La Biblioteca Electrónica de Ciencia y Tecnología de la SECYT se encuentra accesible desde cualquier computadora conectada a la red de la Universidad, y allí se puede consultar una gran variedad de títulos en los más diversos temas.

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